Question

【题目】如图，F1 ， F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°

（1）求椭圆C的离心率；
（2）若a=2，求△AF1B的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，△AF1B为等边三角形，

∴a=2c，

∴e= = = ，

椭圆C的离心率

（2）解：由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2，b= ，

∴椭圆方程为： ，

∴A（0， ），F2（1，0），

∴直线AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣ ，

∴直线AC的方程为y﹣0=﹣ （x﹣1）=﹣ x+ ，

∴ ，解得： 或 （舍）

∴点B的坐标为（ ，﹣ ），

所以

= + = 丨F1F2丨丨AO丨+ 丨F1F2丨丨yB丨= 2 + 2 = ，

∴△AF1B的面积 ．

【解析】（1）由题意可知：△AF1B为等边三角形，因此a=2c，e= = = ，即可求得椭圆C的离心率；（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣ ，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由 = + = 丨F1F2丨丨AO丨+ 丨F1F2丨丨yB丨，代入即可求得△AF1B的面积．