Question

规定，其中，为正整数，且，这是排列数 (是正整数，且)的一种推广．
（1）求的值；
（2）排列数的两个性质：①，② (其中是正整数)．是否都能推广到(，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数的单调区间．

Answer 1

（1）
（2）根据前几项来推理论证得到一般结论，然后运用排列数公式证明。
（3）函数的增区间为，；减区间为

试题分析：解：（1）；     2分
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①， ②．   6分
证明：在①中，当时，左边，
右边，等式成立；
当时，左边
右边
左边=右边 即当时，等式成立
因此①成立                           8分
在②中，当时，左边右边，等式成立；
当时，左边

右边，
因此②成立．      10分
（3）
先求导数，得．
令，解得或．
因此，当时，函数为增函数，
当时，函数也为增函数，
令，解得，
因此，当时，函数为减函数，
函数的增区间为，；减区间为．   14分
点评：主要是考查了归纳推理能力的运用，以及根据导数来求解函数单调性，属于中档题。