Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=5，b_n+1=b_n+a_n，求数列{log₉（b_n-4）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推公式、等比数列的前n项和公式即可得出．
（II）利用“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{3}{2}{a}_{n}-1）$-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-1）$，化为：a_n=3a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n=2•3^n-1．
（II）∵b_n+1=b_n+a_n，
∴b_n+1-b_n=2×3^n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2×（3^n-2+3^n-3+…+3+1）+5
=2×$\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$+5
=3^n-1+4．
∴log₉（b_n-4）=$lo{g}_{9}{3}^{n-1}$=$\frac{n-1}{2}$．
∴数列{log₉（b_n-4）}的前n项和T_n=$\frac{n（\frac{n-1}{2}+0）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{4}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．