Question

设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a． (1) 求f(x)的极值 (2) 当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(x)=3x－2x－1．若(x)=0，则x=，1． 　　当x变化时，(x)的变化情况如下表： 　　所以f(x)的极大值是f．极小值是f(1)=a－1．
(2)	函数f(x)=x3－x2－x＋a=(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时有f(x)＜0，所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点． 　　结合f(x)的单调性可知： 　　当f(x)的极大值＋a＜0，即a∈时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上 　　当f(x)的极小值a－1＞0．即a∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此直线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在上． 　　所以当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点． 　　点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析问题和解决问题的能力．