Question

16．设z是虚数，ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）求|z-2|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi（a，b∈R），则ω=a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）$i是实数，可得b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，又z是虚数，可得b≠0，a²+b²=1．可得|z|=1，由ω=2a，-1＜ω＜2．即可得出z的实部的取值范围．
（2）z-2=（a-2）+bi，可得|z-2|=$\sqrt{（a-2）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5-4a}$，利用$-\frac{1}{2}＜a＜1$，即可得出．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则ω=z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）$i是实数，∴b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，又z是虚数，∴b≠0，∴a²+b²=1．
∴|z|=1，∴ω=2a，∵-1＜ω＜2．∴-1＜2a＜2，解得$-\frac{1}{2}＜a＜1$．∴z的实部的取值范围是$（-\frac{1}{2}，1）$．
（2）z-2=（a-2）+bi，∴|z-2|=$\sqrt{（a-2）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5-4a}$，∵$-\frac{1}{2}＜a＜1$，∴1＜5-4a＜7，∴|z-2|的取值范围是$（1，\sqrt{7}）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、实部的意义、方程的解法，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．