题目内容
（2012•德阳二模）已知．f（x）=ax，g（x）=
，（a＞0，a≠1）
（1）求g（x）+g（1-x）的值；
（2）记an=g(
)+g(
)+…+g（
），（n∈N*）．求an；
（3）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn．
| a2x |
| a+a2x |
（1）求g（x）+g（1-x）的值；
（2）记an=g(
| 1 |
| n+1 |
| 2 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
（3）设bn=
| an |
| 3n |
分析：（1）直接代入g（x）+g（1-x）整理即可求解
（2）由（1）可得g（
）+g（
）=1，然后利用倒序求和方法即可求解
（3）由（2）可得bn=
=
，利用错位相减求和方法即可求解
（2）由（1）可得g（
| 1 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
（3）由（2）可得bn=
| an |
| 3n |
| n |
| 2•3n |
解答：解：（1）∵g（x）=
∴g（x）+g（1-x）=
+
=
+
=
+
=1
（2）由（1）可得g（
）+g（
）=1
∵an=g(
)+g(
)+…+g（
）
an=g（
）+g（
）+…g（
）
两式相加可得，2an=1×n=n
∴an=
（3）∵bn=
=
∴Sn=
[1•
+2•
+…+n•
]
设A=1•
+2•
+…+n•
则
A=1•
+2•
+…+(n-1)•
+n•
相减可得，
A=
+
+…+
-
=
-
=
-
∴A=
-
(n+
)•
∴Sn=
-
(n+
)•
| a2x |
| a+a2x |
∴g（x）+g（1-x）=
| a2x |
| a+a2x |
| a2-2x |
| a+a2(1-x) |
=
| a2x |
| a+a2x |
| a2 |
| a1+2x+a2 |
=
| a2x |
| a+a2x |
| a |
| a+a2x |
=1
（2）由（1）可得g（
| 1 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
∵an=g(
| 1 |
| n+1 |
| 2 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
an=g（
| n |
| n+1 |
| n-1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
两式相加可得，2an=1×n=n
∴an=
| n |
| 2 |
（3）∵bn=
| an |
| 3n |
| n |
| 2•3n |
∴Sn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
设A=1•
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
则
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 33 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3n+1 |
相减可得，
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| n |
| 3n+1 |
=
| ||||
1-
|
| n |
| 3n+1 |
1-
| ||
| 2 |
| n |
| 3n+1 |
∴A=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
∴Sn=
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
点评：本题以函数的运算为载体，主要考查了数列的倒序求和方法的应用及错位相减求和的应用，此求和方法分别是推到等差数列与等比数列求和公式的重要方法
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