Question

15．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对象x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P．现给出如下结论：
①f（x）=2x²，在[1，3]上具有性质P；
②f（x²）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质P；
③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
④若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
其中正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 ①根据定义，直接求出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，比较即可；
②③可通过反例说明不成立；
④中构造1=f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（4-x）），结合定义可得出f（x）只能为1才满足题意．

解答 解：①f（x）=2x²，x₁，x₂∈[1，3]，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$，
显然有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故在[1，3]上具有性质P，故正确；
②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，3]上不满足性质P，故②错误；
③中，反例：f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$，1≤x＜3；f（x）=2，x=3在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故③不成立；
④中f（x）在x=2处取得最大值1，
∵1=f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（4-x）），
∴f（x）+f（4-x）≥2，
∵f（x）≤1，f（4-x）≤1，
∴f（x）=1，x∈[1，3]，故正确；
故答案为①④．

点评 考查了新定义类型的抽象函数，应紧扣定义，可用反例法排除选项．