Question

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，
（Ⅰ）求边长c和△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin2A的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出c，进而得出面积；
（2）利用正弦定理可得：sinA．利用同角三角函数基本关系式即可得出cosA，再利用倍角公式即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理，c²=a²+b²-2abcos60°=2²+3²-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
解得c=$\sqrt{7}$，
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
（2）由正弦定理，$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，
则sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∵a＜b，∴A为锐角，
则cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}$，
sin2A=2sinAcosA=$2×\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}$×$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了余弦定理、正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．