Question

7．如图，△ABC的内切圆I与边AB、AC分别切于点D、E，O为△BCI的外心．证明：∠ODB=∠OEC．

Answer 1

分析 证明A，B，O，C 四点共圆，△OAD≌△OAE，即可证明结论．

解答 证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．
则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．
于是，A，B，O，C 四点共圆．
由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．
因为AD=AE，AO=AO，
所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．
故∠ODB=∠OEC．

点评 本题考查四点共圆，三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．