Question

12．设函数$f（x）={cos^2}x+\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{2}）-\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$上的值域．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若角C满足$f（\frac{C}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$且边$c=\sqrt{2}a$，求角A．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用三角函数降幂公式和诱导公式得到f（x）=cos2x，由此根据余弦函数的性质能求出f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$上的值域．
（2）由f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，从而求出C=$\frac{π}{4}$，再由已知条件利用正弦定理得sinA=$\frac{1}{2}$，由此能求出角A．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={cos^2}x+\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{2}）-\frac{1}{2}$
=$\frac{cos2x+1}{2}$+$\frac{cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=cos2x，…（3分）
∵x∈$（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$，∴2x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）
∴f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$上的值域为$[-1，\frac{1}{2}）$．…（6分）
（2）∵f（x）=cos2x，f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（9分）
∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴C=$\frac{π}{4}$，
∵$c=\sqrt{2}a$，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{2}a}{sinC}$，
∴由正弦定理得sinA=$\frac{a•sinC}{\sqrt{2}a}$=$\frac{a•\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{2}$，
∵a＜c，∴A=$\frac{π}{6}$．…（13分）

点评 本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形的角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式、正弦定理的合理运用．