Question

【题目】某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.

（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；

（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.

Answer 1

【答案】（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.

【解析】

（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；

（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.

（1）由题可知，设点的坐标为，

又，

则直线的方程为，

由此得直线与坐标轴交点为：，

则，故，

设，则.

令，解得=10.

当时，是减函数；

当时，是增函数.

所以当时，函数有极小值，也是最小值，

所以， 此时.

故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.

（2） 在中，，,

所以，

所以，

根据正弦定理

,

，

，

，

又，

所以.

在中，，，

由勾股定理可得，

即，

解得，（千米）.