Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；

（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；

（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.

（1）依题意，，，

设切点为，，

故，

故，则；

令，，

故当时，，

当时，，

故当时，函数有最小值，

由于，故有唯一实数根0，

即，则；

（2）由，得.

所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；

由于.

由，解得，.

当变化时，与的变化情况如下表所示：

				3
		0	+	0
		极小值		极大值

所以在，上单调递减，在上单调递增.

又因为，，

，，

故当或时，直线与曲线在上有两个交点，

即当或时，函数在区间上有两个零点.