题目内容
【题目】如图，分别过椭圆
左、右焦点
的动直线
相交于
点，与椭圆
分别交于
与
不同四点，直线
的斜率
满足
．已知当
与
轴重合时，
，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】试题分析：（1）当
与
轴重合时，
垂直于轴，得
,得
,
从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把
坐标化，可得
点的轨迹是椭圆，从而求得定点
和点
.
试题解析：
当与轴重合时，
, 即
,所以
垂直于轴，得
，
，, 得
,
椭圆
的方程为
.
焦点
坐标分别为
, 当直线
或斜率不存在时，点坐标为
或
;
当直线斜率存在时，设斜率分别为
, 设
由
, 得：
, 所以:
，
, 则：
. 同理：
, 因为
, 所以
, 即
, 由题意知
, 所以
， 设
，则
，即
，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆
上.存在点和点，使得
为定值，定值为
.
考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.
【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把
坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆
，从而求得存在两定点和点.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的极值；
（Ⅱ）若函数
的两个零点为
，记
，证明：
．
【答案】（Ⅰ）极大值为
，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数
在
上的单调性，然后可得当
时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设
，由题意可得
，即
，又由条件得
，构造
，令
，则
，利用导数可得
，故得
，又
，所以
．
详解：（Ⅰ）
，
，
由
得，
且当
时，
，即在
上单调递增，
当
时，
，即在
上单调递减，
∴当时，有极大值，且
，无极小值．
（Ⅱ）
函数
的两个零点为
，不妨设，
，
．
，
即，
又
，
，
，
．
令，则
，
在
上单调递减，
故，
，
即，
又，
．
