Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，6]时，f（x）＜c²+4c恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）先求导，令导数为0，可确定a，b；
（2）将恒成立问题可转化为最值问题．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
由函数f（x）在x=-1和x=3处取得极值知，
f′（-1）=3+2a+b=0，f′（3）=27-6a+b=0
联立解得，
a=3，b=-9．
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，
f（-2）=-2+c，f（-1）=5+c，f（3）=-27+c，f（6）=54+c；
则54+c＜c²+4c，
c²+3c-54＞0
（c+9）（c-6）＞0
∴c＞6或c＜-9．

点评：本题考查了学生对利用导数求极值的理解及恒成立问题的处理方法，是基础题．