Question

【题目】某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为．（为参数，且）.

（1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型

（2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当甲产品投入万元，乙产品投入万元时，总利润最大为万元

【解析】

（1）根据题意,将数据分别代入甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型中,解方程组,即可求出函数表达式.

（2）根据题意,设对乙种产品投资,对甲种产品投资,代入两个利润公式,利用换元法求出函数的值域,然后求最大值即可.

解：（1）由甲的数据表结合模型代入两点可得

代入有

得,

即

由乙的数据图结合模型代入三个点可得,,可得

,

得,,

即

（2）根据题意,对乙种产品投资（万元）,对甲种产品投资（万元）,

那么总利润,

由,解得,

所以,

令,,故,

则,

所以当时,即时,,

答：当甲产品投入万元,乙产品投入万元时,总利润最大为万元