Question

【题目】如图，是边长为的正方形，是的中点，点沿着路径在正方形边上运动所经过的路程为，的面积为.

（1）求的解析式及定义域；

（2）求面积的最大值及此时点位置.

Answer 1

【答案】（1），函数的定义域为；

（2）面积的最大值为，此时点与点重合.

【解析】

（1）分点在线段（不包括点、）、（不包括点）、（不包括点），即对分、、三种情况讨论，计算出关于的表达式，即可得出函数的解析式，并求出该函数的定义域；

（2）分段求出函数的每支函数的最大值，比较大小后得出函数的最大值，并求出对应的的值，即可得出对应的点的位置.

（1）①当点在线段（不包括点）时，，则，的高为，

此时，；

②当点在线段（不包括点）时，，，

的面积为，

的面积为，

直角梯形的面积为，

此时，的面积；

③当点在线段（不包括点）时，，的高为，

此时，.

综上所述，，函数的定义域为；

（2）当时，，此时，函数单调递增，则；

当时，，此时，函数单调递减，则；

当时，，此时，函数单调递减，则.

综上所述，当时，函数取得最大值，即.

因此，当点与点重合时，的面积取到最大值.