Question

9．已知：$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），ω＞0，记函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的坐标公式结合三角函数的辅助角公式进行化简，结合周期公式建立方程进行求解；
（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），
∴$f（x）=-\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx$=$\frac{1}{2}（cos2ωx-\sqrt{3}sin2ωx）+\frac{1}{2}$=$cos（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
（2）由（1）得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，k∈Z．
即函数的单调递减区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查向量数量积的应用以及向量与三角函数的综合，利用辅助角公式进行化简结合周期求出ω的值是解决本题的关键．