Question

四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠BAC=30°，PA=BD，

3

AB=2AD．
（1）证明：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角D-PC-B的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=BD=1，由余弦定理得AD=

3

，AB=2，∠ADB=90°，利用向量法能证明平面PAD⊥平面PBD．
（2）分别求出平面PCD的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角D-PC-B的大小．

解答： （1）证明：以A为原点，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，设PA=BD=1，
∵∠BAC=30°，PA=BD=1，

3

AB=2AD．
∴由余弦定理得AD=

3

，AB=2，∴∠ADB=90°，
平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
P（0，0，1），D（0，

3

，0），B（1，

3

，0），

PD

=（0，

3

，-1），

PB

=（1，

3

，-1），
设平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PD = 3 y-z=0 n • PB =x+ 3 y-z=0

，
取y=

3

，得

n

=（0，

3

，3），
∵

m

•

n

=0，
∴平面PAD⊥平面PBD．
（2）解：C（1，2

3

，0），

PD

=(0，

3

，-1)，

PB

=（1，

3

，-1），

PC

=（1，2

3

，-1），
设平面PCD的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • PC =a+2 3 b-c=0 p • PD = 3 b-c=0

，
取b=

3

，得

p

=（-3，

3

，3），
设平面PCB的法向量

q

=（x₁，y₁，z₁），
则

q • PC =x1+2 3 y1-z1=0 q • PB =x1+ 3 y1-z1=0

，
取x₁=1，得

q

=（1，0，1），
∴cos＜

p

，

q

＞=

-3+3

21 • 2

=0．
∴二面角D-PC-B的大小为90°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．