Question

设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是|OF₁|．△AF₁F₂ 的面积是等于椭圆E的离心率e，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ），若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）表示出直线AF₂的方程，利用原点O到直线AF₂的距离为|OF₁|，及c²=a²-b²，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）将直线y=x+m代入并化简，利用韦达定理，结合∠BF₂C是钝角，得，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，，不妨设A（-c，y）（y＞0），
又∵点A在椭圆上，∴y=，从而得A（-c，），直线AF₂的方程为y=-，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由题设，原点O到直线AF₂的距离为|OF₁|，
即，将c²=a²-b²代入上式化简得a²=2b²①
由题设②，①②联立得b=1，a=，
∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理知x₁+x₂=-，x₁x₂=，
且△=16m²-24（m²-1）＞0，∴|m|＜，
由题设∠BF₂C是钝角，得．
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化简可得3m²+4m-1＜0，∴，满足|m|＜，当m=-1时，B，F₂，C三点共线，
故存在m∈满足条件．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．