Question

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆E过M、N，知，由此能求出椭圆E．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由，知（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围．
解答：解：（1）椭圆E过M、N
∴∴∴椭圆E：（5分）
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由
∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
当△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，要使
∴x₁x₂+y₁y₂=0∴
∴3m²-8k²-8=0∴
又 8k²-m²+4＞0∴∴∴
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴，即，
∴所求圆：
当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）
或（，），满足
综上：存在这样的圆满足条件 （9分）
∵
当k≠0时，
∴（当时取等）
当k=0时，
当k不存时，
∴（12分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．