Question

设椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，
所以，解得，所以，
椭圆E的方程为；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，
设该圆的切线方程为y=kx+m，
解方程组，得，
即，
则△=，即，
，
，
要使，需使，
即，
所以，所以，
又，
所以，所以，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，
所求的圆为，
此时圆的切线y=kx+m都满足，
而当切线的斜率不存在时切线为，
与椭圆的两个交点为，满足；
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
且，
因为，
所以，

，
①当k≠0时，，
因为，所以，
所以，
所以，当且仅当时取“=”；
②当k=0时，；
③当AB的斜率不存在时，两个交点为，
所以此时；
综上，|AB|的取值范围为，即：。