题目内容
【题目】四棱锥
的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，
，E为AD的中点，二面角
为
．
证明：
平面PBE；
求点P到平面ABCD的距离；
求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】（1）见证明；（2）
（3）
【解析】
推导出
，
，由此能证明
平面PBE．
由平面PBE，得
，从而
是二面角
的平面角，
，推导出平面
平面ABCD，作
，垂足为F，则
平面ABCD，由此能求出点P到面ABC的距离．
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
证明：
是正三角形，E为AD中点，
，
，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，
平面PBE．
解：
平面PBE，
平面PBE，
，
是二面角的平面角，
，
平面PBE，
平面ABCD，
平面平面ABCD，
作，垂足为F，则平面ABCD，
，
点P到面ABC的距离为．
，E为AD中点，
，即
为正三角形，
以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则
0，
，
，
，
0，，
，
，
0，，
设
y，
是平面ABP的一个法向量，
则
，取
，得
，
，
与平面APB所成的角和BC与平面APB所成的角相等，
设BC与平面APB所成角为
，
．
直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．
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