Question

已知数列{a_n}满足：a1=a，an+1=Sn+(-1)n，n∈N*，且{an+

2

3

(-1)n}是等比数列，则a_n的表达式为

2n-1+2(-1)n-1

3

．

Answer 1

分析：由{an+

2

3

(-1)n}为等比数列，得(a2+

2

3

)2=(a1-

2

3

)(a3-

2

3

)，根据an+1=Sn+(-1)n，得a₂=S₁-1=a-1，a₃=S₂+1=2a，代入即可求得a值，从而可求得等比数列{an+

2

3

(-1)n}的通项公式，进而可求得a_n，注意检验a值．

解答：解：由an+1=Sn+(-1)n，可得a₂=S₁-1=a-1，a₃=S₂+1=2a，
由{an+

2

3

(-1)n}为等比数列得，(a2+

2

3

)2=(a1-

2

3

)(a3-

2

3

)，即(a-

1

3

)2=(a-

2

3

)(2a-

2

3

)，
解得a=1或a=

1

3

，当a=

1

3

时，{an+

2

3

(-1)n}的第二项为a-1+

2

3

=0不合题意，
则该等比数列的公比为2，首项为

1

3

．
所以an+

2

3

(-1)n=

1

3

×2^n-1，
所以an=

1

3

•2n-1-

2

3

•(-1)n=

2n-1+2(-1)n-1

3

，
故答案为：

2n-1+2(-1)n-1

3

．

点评：本题考查数列递推式、等比数列的通项公式，考查学生对问题的分析能力、理解能力，属中档题，解决本题的关键是正确利用已知条件求出a值．