Question

6．在三棱锥S-ABC中，△ABC为正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H-AB-C为30°，则$\frac{SA}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 推导出BG⊥SC，AG⊥SC，∠CEG=30°，取K，F分别为AC、BC的中点，从而得到SA=SC=SB，由此能求出结果．

解答 解：∵三棱锥S-ABC中，△ABC为正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴S在平面ABC上的射影N是△ABC的垂心，
B在平面SAC上的射影M为△SAC的垂心，
∴BG⊥SC，AG⊥SC，
∵二面角H-AB-C为30°，
∴∠CEG=30°，
又∵△ABC为正三角形，取K，F分别为AC、BC的中点，
又SK⊥AC，SF⊥BC，∴SA=SC=SB，
∴$\frac{SA}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线段比值的求法，解决的关键是对于二面角的求作，以及垂心的运用，得到线段的比值，属于中档题．