Question

如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足
.
（Ⅰ）当时，求证：平面平面；
（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积
恒为定值；
（Ⅲ）求异面直线与所成的角的余弦值.

Answer 1

18．解：
方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体中，面，
又∴平面平面， ………………2分
∵时，为的中点，∴，
又∵平面平面，
∴平面，
又平面，∴平面平面．………4分
（Ⅱ）∵，为线段上的点，
∴三角形的面积为定值，即，
………………6分
又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， ………………8分
∴三棱锥的体积为定值，即．
也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；………………………10分
（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，
又平面，∴，             …………………………12分
即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．…………………13分
方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、
∴，，设平面的法向量为，……1分
则，即，令，解得，        …2分
又∵点为线段的中点，∴，∴平面，
∴平面的法向量为，           ……………3分
∵，
∴平面平面，           ………………………4分
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）∵，∴，  …………………10分
又、、，
∴，，   ……………………………11分
∵   …………………………………12分
∴不管取值多少，都有，即异面直线与所成的角的余弦值为0.……13分

略