Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）试求a₁，a₂的值；
（2）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列b_n=2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，2S_n=a_n²+a_n，当n=1时，可求得a₁，继而可求得a₂的值；
（2）2S_n=a_n²+a_n⇒2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），?整理可得a_n-a_n-1=1（n≥2），从而可知数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，于是可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由a_nb_n=n•2ⁿ，利用错位相减法可求得数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

解答： （本题满分12分）
解：（1）S_n是a_n²和a_n的等差中项，
∴2S_n=a_n²+a_n，
令n=1则2S₁=a₁²+a₁，解得a₁=1或0，
∵数列{a_n}的各项都为正数，∴a₁=1…（2分）
令n=2，则2S₂=a₂²+a₂，解得a₂=2或-1（舍去）．…（4分）
（2）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），?…（5分）
两式相减：得2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1（n≥2），
化简得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0…（7分）
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，…（8分）
∴a_n}=n（n∈N^*）…（9分）
（3）∵a_nb_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（11分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用及等差关系关系的确定，这是重点也是难点，突出考查错位相减法求和，属于中档题．