Question

【题目】已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+ =2an+ （n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1= ，设数列{an}的前n项和为Sn ， 证明： ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由an+1+ =2an+ ，

得 ，即 ，

∴ ，则 ，

又0＜an＜1，

∴ ，即an+1＜an

（2）证明：由an+1+ =2an+ ，得 ．

∴Sn=a1+a2+…+an= +…+

= ．

又∵an+1+ =2an+ ，

∴ ，

∴ ．

由0＜an+1＜an，可知 ，

即 ，

∴2n ，

∴ ， ，

∵ ．

∴ ．

∴ ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．

【解析】（1）把已知数列递推式变形，可得 ，结合0＜an＜1，得到an+1﹣an= ＜0，即an+1＜an；（2）由已知数列递推式得 ，利用累加法得到Sn= =an+1+ ．把已知递推式两边平方可得 ，利用放缩法得到 ，即2n ，进一步得到 ，然后利用不等式的可加性证得 ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．