Question

已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

Answer 1

（1）详见解析；（2） 详见解析.

试题分析：（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（2）考虑函数，令，则时，，
记，则 ，有（1）得，当时，，当时，.在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以，即命题得证.
（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.
（2）考虑函数，
令，则时，，
记，则 ，
有（1）得，当时，，当时，.
在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.
在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.
所以存在唯一的使.
因此存在唯一的，使.
因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.
因，所以