Question

14．如图，点F（0，2）是抛物线x²=2py的焦点．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若点P为圆O：x²+y²=1上一动点，直线l是圆O在点P处的切线，直线l与抛物线相交于A，B 两点（A，B在y轴的两侧），求四边形OAFB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点F（0，2）是抛物线x²=2py的焦点，求出p=4，即可得到抛物线方程．
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+b，利用直线与圆相切，得到b²=1+k²，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由韦达定理求出x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-8b，表示四边形OAFB的面积，通过b的范围，求解S_OAFB的最小值．

解答 解：（Ⅰ）点F（0，2）是抛物线x²=2py的焦点，可得p=4，抛物线方程为：x²=8y…．（5分）
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+b
由直线与圆相切得：$\frac{|b|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即b²=1+k²…①…．（7分）
$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$化简整理得：x²-8kx-8b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-8b…．（9分）
∵A，B在y轴两侧，
∴x₁•x₂＜0即b＞0…②
由①②得b≥1${S_{OAFB}}=\frac{1}{2}×OF×|{x_1}|+\frac{1}{2}×OF×|{x_2}|$…．（11分）
=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{64{k^2}+32b}=4\sqrt{4{b^2}+2b-4}（b≥1）$…．（13分）
当b=1时，S_OAFB的最小值为$4\sqrt{2}$…．（15分）

点评 本题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力．