题目内容
13．直线l的斜率为-1，在y轴上的截距为1，且与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）分析 求得直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量的数量积为0，即可得证．
解答 证明：由题意可得直线l的方程为y=-x+1，
代入双曲线的方程3x2-y2=1，可得
x2+x-1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=-1，x1x2=-1，
即有x1x2+y1y2=x1x2+（1-x1）（1-x2）=2x1x2+1-（x1+x2）
=-2+1+1=0，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即有OA⊥OB．
点评 本题考查双曲线的方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
5．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过等腰梯形ABCD的上底的两个顶点C、D，下底的两个顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC与双曲线的左支交于点E，且3|AE|=2|EC|，|AB|=2|CD|，则该双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{7}$ |
3．已知$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{MB}$，O为平面内任意一点，则下列各式成立的是（ ）
| A． | $\overrightarrow{OM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{OB}$ | B． | $\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$ | C． | $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ | D． | $\overrightarrow{OM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ |