题目内容

已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：
AP2
+
CP2
=
BP2
+
DP2
，那么四边形ABCD一定是（　　）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
设A（0，0），B（a，0），C（xc，yc），D（xD，yD），P（x，y）
则
AP
=（x，y），
BP
=(x-a，y)，
CP
=（x-xC，y-yc），
DP
=(x-xD，y-yD)
∵
AP2
+
CP2
=
BP2
+
DP2
，
∴x2+y2+（x-xc）2+（y-yc）2=（x-a）2+y2+（x-xD）2+（y-yD）2
整理得-2xCx-2yCy+xC2+yC2=-2（a+xD）x-2yDy+a2+xD2+yD2
对比系数得
xC=a+xD
yC=yD
x2C
+
y2C
=a2+
x2D
+
y2D

由xC=xD+a知|CD|=a，又yC=yD，故四边形ABCD为平行四边形．
而
xC2
+
yC2
=a2+
xD2
+
yD2
，则平行四边形ABCD为矩形
故选C．
练习册系列答案
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已知平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于-
1
4
的点P的轨迹为曲线C1，椭圆C2以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为
5
5
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2交于M、N、P、Q四点，当四边形MNPQ面积最大时，求椭圆C2的方程及此四边形的最大面积．
（2008•武汉模拟）已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：
AP2
+
CP2
=
BP2
+
DP2
，那么四边形ABCD一定是（　　）

已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：，那么四边形ABCD一定是

[　　]

A．梯形

B．菱形

C．矩形

D．正方形
已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：+=+，那么四边形ABCD一定是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

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