题目内容
（2008•武汉模拟）已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：
+
=
+
，那么四边形ABCD一定是（ ）
| AP2 |
| CP2 |
| BP2 |
| DP2 |
分析：以A为原点，AB为x轴奖励平面直角坐标系，设出各点坐标，根据
+
=
+
建立等式关系，即可判定四边形的形状．
| AP2 |
| CP2 |
| BP2 |
| DP2 |
解答：解：设A（0，0），B（a，0），C（xc，yc），D（xD，yD），P（x，y）
则
=（x，y），
=(x-a，y)，
=（x-xC，y-yc），
=(x-xD，y-yD)
∵
+
=
+
，
∴x2+y2+（x-xc）2+（y-yc）2=（x-a）2+y2+（x-xD）2+（y-yD）2
整理得-2xCx-2yCy+xC2+yC2=-2（a+xD）x-2yDy+a2+xD2+yD2
对比系数得
由xC=xD+a知|CD|=a，又yC=yD，故四边形ABCD为平行四边形．
而
，则平行四边形ABCD为矩形
故选C．
则
| AP |
| BP |
| CP |
| DP |
∵
| AP2 |
| CP2 |
| BP2 |
| DP2 |
∴x2+y2+（x-xc）2+（y-yc）2=（x-a）2+y2+（x-xD）2+（y-yD）2
整理得-2xCx-2yCy+xC2+yC2=-2（a+xD）x-2yDy+a2+xD2+yD2
对比系数得
|
由xC=xD+a知|CD|=a，又yC=yD，故四边形ABCD为平行四边形．
而
|
故选C．
点评：本题主要考查了利用解析法，进行坐标化进行求解，同时考查了向量的模的计算，属于中档题．
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