Question

已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：+=+，那么四边形ABCD一定是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

Answer 1

【答案】分析：以A为原点，AB为x轴奖励平面直角坐标系，设出各点坐标，根据+=+建立等式关系，即可判定四边形的形状．
解答：解：设A（0，0），B（a，0），C（x_c，y_c），D（x_D，y_D），P（x，y）
则=（x，y），，=（x-x_C，y-y_c），
∵+=+，
∴x²+y²+（x-x_c）²+（y-y_c）²=（x-a）²+y²+（x-x_D）²+（y-y_D）²
整理得-2x_Cx-2y_Cy+x_C²+y_C²=-2（a+x_D）x-2y_Dy+a²+x_D²+y_D²
对比系数得
由x_C=x_D+a知|CD|=a，又y_C=y_D，故四边形ABCD为平行四边形．
而，则平行四边形ABCD为矩形
故选C．
点评：本题主要考查了利用解析法，进行坐标化进行求解，同时考查了向量的模的计算，属于中档题．