Question

17．已知复数z=（a-2）+ai（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则$\int_{\;0}^{\;a}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx的为（　　）

• A． 2+π
• B． 2+$\frac{π}{2}$
• C． 4+2π
• D． 4+4π

Answer 1

分析 由复数定义易得a=2，${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx，由定积分的几何意义以及定积分的计算法则计算可得

解答 解：∵复数z=（a-2）+ai（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，∴a=2，
∴${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx，
由定积分的几何意义可知${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx表示圆x²+y²=4面积的四分之一，为π，
∴${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=π+$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{0}^{2}$=π+2
故选：A．

点评 本题考查复数的基本概念和定积分的求解，属中档题．