Question

若直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2x相切,试求k的值.

Answer 1

解析:本题仍然是曲线的切线问题,但既没有切线坐标,又没有切线的斜率,但曲线和它的切线均过原点,这是解题的关键.?

∵y=x³-3x²+2x,?

∴y′=3x²-6x+2.?

∵直线和曲线均过原点,?

当原点是切点时,切线斜率k=y′|_x=0=2,?

当切点不是原点时,设切点为P(x₀,y₀),其中x₀≠0,则有切线的斜率k=.?

又k=y′|_x=x0 =3x₀²-6x₀+2,?

∴y₀=3x₀³-6x₀²+2x₀.?

又∵切点P(x₀,y₀)在曲线上,?

∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀.?

∴3x₀³-6x₀²+2x₀=x₀³-3x₀²+2x₀.?

由于x₀≠0,∴x₀=.?

∴k=y′|_x==-.?

综上所述,k=2或k=-.?

求切线一般是求导数得到切线的斜率,但切线的斜率k本身是未知的,则一定还有条件没有明确交待,需要认真审题,挖掘条件.另外切线与曲线不一定就是一个交点,即交点不一定是切点,也可能两个交点都是切点,要分情况讨论.