Question

若直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2x相切，试求k的值.

Answer 1

思路分析：观察直线与曲线都经过(0，0)点，说明切点可能位于(0，0)点或其他点处，再分类讨论，否则易漏解.

解：∵y=x³-3x²+2x,∴y′=3x²-6x+2.

y′|_x0=2,又∵直线与曲线都经过原点，则

①若直线与曲线切于原点时，k=2.

②若直线与曲线切于原点外另一点(x₀,y₀)(x₀≠0)

则k=,由(x₀,y₀)在曲线y=x³-3x²+2x上，∴y₀=+2x₀,又∵=k,

∴有k==-3x₀+2,又∵y′=3x²-6x+2,∴k=3-6x₂+2.∴-3x₀+2=3-6x₀+2.∴x₀=0(舍)或x₀=.所以，当x₀=时，k=()²-3×+2=-.综上所述k=2或k=-.