Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线y=kx+与（1）中所求点N的轨迹E交于不同两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤，求k²的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，先证明出NP为线段AM的垂直平分线，利用垂直平分线定理得到点N到点A、C的距离和为常数，从而得出所求轨迹是以A、C为焦点的椭圆，不难求出它的方程；
（2）在（1）的基础上，将直线y=kx+与椭圆方程联解消去y得关于x的方程，再利用根与系数的关系，得到，将这个关系代入到数量积当中，表示成关于k的式子，再进行化简，最终得到不等式，解这个不等式可得k²的取值范围．
解答：解：（1）=2，，•=0
所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|
|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2＞2=|CA|
所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2a=2，焦距2c=2，所以a=，c=1，b²=1
曲线E的方程为．
（2）设F（x₁，y₁）H（x₂，y₂），则由，消去y得
（2k²+1）x²+4kx+2k²=0，△=8k²＞0 （k≠0）

∴

=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²+1
=-=
∴⇒
∴k²的取值范围为[]
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、圆的几何性质、平面向量的数量积运算以及圆锥曲线的综合应用等知识点，属于难题．本题对运算的要求相当高，解题中应注意设而不求和转化化归思想的运用．