Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差数列，且

BF

与

FA

同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，c2=a2+b2由

BF

，

FA

同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线斜率为：k1=

b

a

＜1∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

|OB|-|OA|= 1 2 |AB |OA|+|OB|=2|AB

∴|OA|=

3

4

|AB|∴|OA|2=

9

16

|AB|2
可得：

|AB|

|OA|

=

4

3

，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

1

2

∠AOB
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k2+3k-2=0，∴k=

1

2

(k=-2舍去)；
∴

b

a

=

1

2

∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

1

4

，∴e2=

5

4

∴e=

5

2

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为

x2

4b2

-

y2

b2

=1，c=

5

b，
∴AB的直线方程为 y=-2（x-

5

b），代入双曲线方程得：15x²-32

5

bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=

32 5 b

15

，x₁•x₂=

84b2

15

，
4=

(1+4)[(  32 5 b 15 )2 - 4 • 84b2 15

，16=

32b2

9

-

4×84b2

3

，
∴b²=9，所求双曲线方程为：

x2

36

-

y2

9

=1．