Question

15．在棱长为2的正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD=2DN，则三棱锥P-MBD的体积为$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由已知条件求出D到平面PAB的距离，把三棱锥P-MBD的体积转化为三棱锥D-PBM的体积求解．

解答 解：如图：
∵P-ABC为正四面体，且棱长为2，
∴C在底面PAB的射影为底面三角形PAB的外心O，也是重心，
则BM=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$CO=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又N为BC的中点，PD=2DN，
D到面PAB的距离为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}CO=\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，
而${S}_{△PBM}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-MBD}={V}_{D-PBM}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{9}=\frac{\sqrt{2}}{9}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了等积法在求多面体体积中的应用，是中档题．