Question

16．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx
（1）当a=b=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$．对任意x∈（0，3]，总有F′（x）≤$\frac{1}{2}$成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；
（2）求出F（x）的导数，问题转化为a≥x0-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$在x₀∈（0，3]上恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可；
（3）问题转化为只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一实数解，令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），求出g（x）的最值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）当a=b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，
故f（x）的最大值为f（1）=-$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
由题意 $\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x₀∈（0，3]恒成立，即a≥x0-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知当x₀=1时，x₀-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$取得最大值$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$；
（3）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx，得lnx+x=mx，
又x＞0，于是m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在区间[1，e²]上有唯一实数解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一实数解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），于是g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
于是g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e²]上是减函数，
g（1）=1，g（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
故m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

点评 本题主要考查利用导数求曲线在某点的切线斜率，求二次函数在闭区间上的最值，利用导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题．