Question

4．已知a＞b＞0，且m=a+$\frac{1}{（a-b）b}$．
（1）试利用基本不等式求m的最小值t；
（2）若实数x，y，z满足x²+4y²+z²=t，求证：|x+2y+z|≤3．

Answer 1

分析 （1）m=a+$\frac{1}{（a-b）b}$=（a-b）+b+$\frac{1}{（a-b）b}$，结合基本不等式，可得m的最小值t；
（2）由柯西不等式得：[x²+（2y）²+z²]（1²+1²+1²）≥（x+2y+z）²，进而可证得：|x+2y+z|≤3．

解答 解：（1）由三个数的均值不等式得：
$m=（a-b）+b+\frac{1}{（a-b）b}≥3\root{3}{{（a-b）b•\frac{1}{（a-b）b}}}=3$
（当且仅当$a-b=b=\frac{1}{a-b}$即b=1，a=2时取“=”号），
故有t=3． （5分）
证明：（2）∵x²+4y²+z²=3，由柯西不等式得：[x²+（2y）²+z²]（1²+1²+1²）≥（x+2y+z）²
（当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{2y}{1}=\frac{z}{1}$即$x=z=\frac{6}{5}，y=\frac{3}{5}$时取“=”号）
整理得：（x+2y+z）²≤9，即|x+2y+z|≤3．         （10分）

点评 本题考查的知识点是基本不等式和柯西不等式，难度中档．