Question

已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

（1）求解析式f(x)；

（2）当x∈[－1, 1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c

由f(0)＝1可知c＝1

由f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x

则，∴，∴f(x)＝x²－x＋1

（2）即f(x)＞2x＋m在x∈[－1, 1]上恒成立

X²－x＋1＞2x＋m

∴m＜(x²－3x＋1)_min，

而x²－3x＋1＝(x―)²―在[―1, 1]上递减

∴m＜－1