Question

已知函数f（x）图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）g（x）=f（x）+

a

x

，x∈[1，2]，求g（x）最小值M（a）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的对称性，建立对应关系即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出g（x）=f（x）+

a

x

，x∈[1，2]的表达式，通过讨论a的取值范围，即可求g（x）最小值M（a）．

解答： 解：（1）设（x，y）是f（x）上的任意一点，（x'，y'）是h（x）上和（x，y）关于A对称的对应点，
则

x+x′ 2 =0 y+y′ 2 =1

，即

x′=-x y′=2-y

，
∵（x'，y'）是h（x）上的点，
∴y′=h（x′），
即2-y=h（-x），则2-y=-x-

1

x

+2，
即y=x+

1

x

，则y=f（x）=x+

1

x

．
（2）g（x）=f（x）+

a

x

=x+

1

x

+

a

x

=x+

1+a

x

，
若1+a≤0，即a≤-1，则g（x）在[1，2]上单调递增，即g（x）最小值M（a）=g（1）=1+1+a=a+2．
若1+a＞0，即a＞-1时，g（x）在（0，

1+a

）上单调递减，在（

1+a

，+∞）上单调递增，
若

1+a

≤1，即0＜1+a≤1，即-1＜a≤0，此时g（x）在[1，2]上单调递减，即g（x）最小值M（a）=g（2）=2+

1

2

（1+a）=

5

2

+

a

2

．
若1＜

1+a

＜2，即1＜1+a＜4，即0＜a＜3，此时g（x）在[1，2]上的最小值M（a）=g（

1+a

）=2

1+a

，
若

1+a

≥2，即1+a≥4，即a≥3时，g（x）在[1，2]上单调递增，即g（x）最小值M（a）=g（1）=1+1+a=a+2．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的求解，结合对勾函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．