题目内容

定义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且当x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf^′（2），则f（- $数学公式$ ）与f（ $数学公式$ ）的大小关系是

A.
f（- $数学公式$ ）=f（ $数学公式$ ）
B.
f（- $数学公式$ ）＜f（ $数学公式$ ）
C.
f（- $数学公式$ ）＞f（ $数学公式$ ）
D.
不确定

B
分析：本题是一个比较函数大小的题，一般借助函数的单调性比较大小，由题设条件知函数是一个偶函数，且周期是4，由于已知x∈[2，4]时的函数解析式，故可以利用函数的性质将f（- $\text{[math]}$ ）与f（ $\text{[math]}$ ）两个函数值的计算问题转化到[2，4]上求值，然后再比较大小，选出正确选项
解答：由题意义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），故函数是一个偶函数，且周期为4又函数是可导函数，x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf^′（2），故有f′（2）=2×2+2f^′（2），得f′（2）=-4
所以x∈[2，4]时，f（x）=x²-8x，
f（- $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ +4）= $\text{[math]}$ -28=- $\text{[math]}$ ，
f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
所以有f（- $\text{[math]}$ ）＜f（ $\text{[math]}$ ）
故选B
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合及求导的运算，解题关键是熟练掌握导数运算，函数奇偶性的判断及函数周期性的定义，本题涉及到函数性质较多，解题时要注意利用函数的性质准确做出判断