Question

定义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且当x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf^′（2），则f（-

1

2

）与f（

16

3

）的大小关系是（　　）

• A、f（-

  1

  2

  ）=f（

  16

  3

  ）
• B、f（-

  1

  2

  ）＜f（

  16

  3

  ）
• C、f（-

  1

  2

  ）＞f（

  16

  3

  ）
• D、不确定

Answer 1

分析：本题是一个比较函数大小的题，一般借助函数的单调性比较大小，由题设条件知函数是一个偶函数，且周期是4，由于已知x∈[2，4]时的函数解析式，故可以利用函数的性质将f（-

1

2

）与f（

16

3

）两个函数值的计算问题转化到[2，4]上求值，然后再比较大小，选出正确选项

解答：解：由题意义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），故函数是一个偶函数，且周期为4又函数是可导函数，x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf^′（2），故有f′（2）=2×2+2f^′（2），得f′（2）=-4
所以x∈[2，4]时，f（x）=x²-8x，
f（-

1

2

）=f（-

1

2

+4）=

49

4

-28=-

73

4

，
f（

16

3

）=f（

4

3

）=f（-

4

3

）=f（-

4

3

+4）=f（

8

3

）=-

128

9

所以有f（-

1

2

）＜f（

16

3

）
故选B

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合及求导的运算，解题关键是熟练掌握导数运算，函数奇偶性的判断及函数周期性的定义，本题涉及到函数性质较多，解题时要注意利用函数的性质准确做出判断