题目内容

已知定义在R上的可导函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(-x),且当x≠0时,有x•f′(x)<0,现设a=f(-sin32°),b=f(cos32°),则实数a,b的大小关系是
a>b
a>b
分析:根据当x≠0时,有x•f′(x)<0,则当x>0时,f′(x)<0,即可得f(x)的单调性,再根据对任意x∈R都有f(x)=f(-x),即可得f(x)为偶函数,利用偶函数的性质,将a=f(-sin32°)转化为a=f(sin32°),b=f(cos32°),利用函数f(x)的单调性,即可判断出a与b的大小关系.
解答:解:∵当x≠0时,有x•f′(x)<0,
∴当x>0时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,
∵函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(-x),
∴f(x)为偶函数,
∴a=f(-sin32°)=f(sin32°),
∵sin32°<cos32°,且f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,
∴f(sin32°)>f(cos32°),
∴a>b.
故答案为:a>b.
点评:本题考查了函数的性质,偶函数的定义,函数的单调性的应用.考查了利用利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.属于中档题.
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