Question

如图所示，在长方体，ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AD=2AA₁=2，E是AB的中点，F是A₁C的中点
（1）求证：EF∥平面AA₁D₁D；
（2）求证：EF⊥平面A₁CD；
（3）求三棱锥B-A₁DF的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD₁，AD₁，由长方体的几何特征，可得F也为BD₁的中点，进而根据三角形中位线定理可得EF∥AD₁，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面AA₁D₁D；
（2）连接A₁D，由正方形的对角线互相垂直可得A₁D⊥AD₁，由由长方体的几何特征，可得CD⊥AD₁，由线面垂直的判定定理可得AD₁⊥平面A₁CD，结合（1）中结论及线面垂直的第二判定定理，可得EF⊥平面A₁CD；
（3）根据等体积法，可得三棱锥B-A₁DF的体积等于三棱锥A₁-BDF三棱锥A₁-BDF的体积等于三棱锥A₁-BCD减三棱锥F-BCD，根据AB=2AD=2AA₁=2，F是A₁C的中点，求出棱锥的底面积及高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）连接BD₁，AD₁，
由长方体的几何特征，可得F也为BD₁的中点
又∵E是AB的中点，
∴EF为△BAD₁的中位线
∴EF∥AD₁
又∵EF?平面AA₁D₁D，AD₁?平面AA₁D₁D
∴EF∥平面AA₁D₁D；
（2）连接A₁D，∵AD=AA₁，
∴四边形AA₁D₁D为正方形
∴A₁D⊥AD₁，
又∵CD⊥AD₁，A₁D∩CD=D
∴AD₁⊥平面A₁CD
又∵EF∥AD₁
∴EF⊥平面A₁CD；
解：（3）∵三棱锥B-A₁DF的体积等于三棱锥A₁-BDF
三棱锥A₁-BDF的体积等于三棱锥A₁-BCD减三棱锥F-BCD
∵AB=2AD=2AA₁=2，F是A₁C的中点
∴S_△BCD=1
三棱锥A₁-BCD的高h=1，三棱锥F-BCD的高h′=

1

2

∴三棱锥B-A₁DF的体积V=

1

3

•1（1-

1

2

）=

1

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得EF∥AD₁，（2）的关键是证得AD₁⊥平面A₁CD，（3）的关键是将三棱锥B-A₁DF的体积转化为三棱锥A₁-BCD减三棱锥F-BCD的体积．