Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点
（Ⅰ）求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

Answer 1

分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根据异面直线所成角的定义可知∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．
（Ⅱ）可根据题中条件计算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．

解答：解：（1）如图，因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B1M=

B1C12+MC12

=

2

∴tan∠MA₁B₁=

B1M

A1B1

=

2

即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为

2

（Ⅱ）∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BM①
由（1）知B1M=

B1C12+MC12

=

2

，BM=

BC2+CM2

=

2

，B₁B=2
∴B1M2+BM2= B1B2
∴BM⊥B₁M②
∵A₁B₁∩B₁M=B₁
∴由①②可知BM⊥面A₁B₁M
∵BM?面ABM
平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

点评：本题主要考察异面直线所成角的定义以及面面垂直的证明，属常考题型，较难．解题的关键是要掌握异面直线所成角的定义（即将异面直线转化为相交直线所成的角）和面面垂直的判定定理！