题目内容
如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1Dl中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN．
（1）求cos＜
| A1D |
| AM |
（2）求直线AD与平面ANM所成角的大小；
（3）求平面ANM与平面ABCD所成角的大小．
分析：（1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．
（2）利用线面垂直的判断定理得到
⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量
与
所成角的余弦，
其绝对值为直线与面所成角的正弦．
（3）求出两个面的法向量，利用向量的数量积求出两个法向量的夹角余弦，即两面所成角的余弦或余弦的相反数．
（2）利用线面垂直的判断定理得到
| A1D |
| A1D |
| AD |
其绝对值为直线与面所成角的正弦．
（3）求出两个面的法向量，利用向量的数量积求出两个法向量的夹角余弦，即两面所成角的余弦或余弦的相反数．
解答：
解：（1）建立空间直角坐标系如图．
可得向量
=（5，2，4），
向量
=（0，8，-4），
•
=0+16-16=0
∴
=⊥
，
即cos＜
，
＞=0．
（2）
⊥AM，
⊥AN，∴
⊥平面AMN，
∴向量
=（0，8，-4），是平面AMN的一个法向量，
又
=（0，8，0），|
|=4
，
|
|=8，
•
=64；
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
∴AD与平面AMN所成的角为
-arccos
．
（3）∵平面AMN的法向量是
=（0，8，-4），平面ABCD的法向量是
=（0，0，4），∴cos＜
，
＞=
=
=-
；
∴平面AMN与平面ABCD所成的角为arccos
．
解：（1）建立空间直角坐标系如图．可得向量
| AM |
向量
| A1D |
| AM |
| A1D |
∴
| AM |
| A1D |
即cos＜
| AM |
| A1D |
（2）
| A1D |
| A1D |
| A1D |
∴向量
| A1D |
又
| AD |
| A1D |
| 5 |
|
| AD |
| A1D |
| AD |
∴cos＜
| A1D |
| AD |
| 64 | ||
4
|
| 2 | ||
|
2
| ||
| 5 |
∴AD与平面AMN所成的角为
| π |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
（3）∵平面AMN的法向量是
| A1D |
| AA1 |
| A1D |
| AA1 |
| ||||
|
|
| -4 | ||
4
|
| ||
| 5 |
∴平面AMN与平面ABCD所成的角为arccos
| ||
| 5 |
点评：本题考查利用向量的数量积求两个向量的夹角余弦、求直线与平面所成的角的正弦、求两个平面所成的角的余弦．
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