Question

17．若不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求p、q的值；
（2）求不等式$\frac{{{x^2}+px+q}}{{{x^2}-x-6}}$≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出q、p的值；
（2）由p、q的值，把不等式化为$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x-6}$≥0，利用符号法则求出解集即可．

解答 解：（1）∵不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
∴1和2是一元二次方程x²+px+q=0的两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-p}\\{1×2=q}\end{array}\right.$，
解得q=2，p=-3；
（2）由p=-3，q=2，
不等式$\frac{{{x^2}+px+q}}{{{x^2}-x-6}}$≥0化为$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x-6}$≥0，
即$\frac{（x-1）（x-2）}{（x+2）（x-3）}$≥0，
且该不等式对应方程的四个根为-2，1，2和3，
由符号法则解得该不等式的解集为（-∞，-2）∪[1，2]∪（3，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数关系的应用问题，属于中档题．